Álgebra lineal Ejemplos

$4 x + 3 y = - 10$ , $3 x + 2 y = - 6$

Paso 1

Resuelve $x$ en $4 x + 3 y = - 10$ .

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Paso 1.1

Resta $3 y$ de ambos lados de la ecuación.

$4 x = - 10 - 3 y$

$3 x + 2 y = - 6$

Paso 1.2

Divide cada término en $4 x = - 10 - 3 y$ por $4$ y simplifica.

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Paso 1.2.1

Divide cada término en $4 x = - 10 - 3 y$ por $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 10}{4} + \frac{- 3 y}{4}$

$3 x + 2 y = - 6$

Paso 1.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 1.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 10}{4} + \frac{- 3 y}{4}$

$3 x + 2 y = - 6$

Paso 1.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 10}{4} + \frac{- 3 y}{4}$

$3 x + 2 y = - 6$

$x = \frac{- 10}{4} + \frac{- 3 y}{4}$

$3 x + 2 y = - 6$

$x = \frac{- 10}{4} + \frac{- 3 y}{4}$

$3 x + 2 y = - 6$

Paso 1.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.3.1.1

Cancela el factor común de $- 10$ y $4$ .

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Paso 1.2.3.1.1.1

Factoriza $2$ de $- 10$ .

$x = \frac{2 (- 5)}{4} + \frac{- 3 y}{4}$

$3 x + 2 y = - 6$

Paso 1.2.3.1.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.2.3.1.1.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$x = \frac{2 \cdot - 5}{2 \cdot 2} + \frac{- 3 y}{4}$

$3 x + 2 y = - 6$

Paso 1.2.3.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$x = \frac{2 \cdot - 5}{2 \cdot 2} + \frac{- 3 y}{4}$

$3 x + 2 y = - 6$

Paso 1.2.3.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$x = \frac{- 5}{2} + \frac{- 3 y}{4}$

$3 x + 2 y = - 6$

$x = \frac{- 5}{2} + \frac{- 3 y}{4}$

$3 x + 2 y = - 6$

$x = \frac{- 5}{2} + \frac{- 3 y}{4}$

$3 x + 2 y = - 6$

Paso 1.2.3.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{5}{2} + \frac{- 3 y}{4}$

$3 x + 2 y = - 6$

Paso 1.2.3.1.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{5}{2} - \frac{3 y}{4}$

$3 x + 2 y = - 6$

$x = - \frac{5}{2} - \frac{3 y}{4}$

$3 x + 2 y = - 6$

$x = - \frac{5}{2} - \frac{3 y}{4}$

$3 x + 2 y = - 6$

$x = - \frac{5}{2} - \frac{3 y}{4}$

$3 x + 2 y = - 6$

$x = - \frac{5}{2} - \frac{3 y}{4}$

$3 x + 2 y = - 6$

Paso 2

Reemplaza todos los casos de $x$ por $- \frac{5}{2} - \frac{3 y}{4}$ en cada ecuación.

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Paso 2.1

Reemplaza todos los casos de $x$ en $3 x + 2 y = - 6$ por $- \frac{5}{2} - \frac{3 y}{4}$ .

$3 (- \frac{5}{2} - \frac{3 y}{4}) + 2 y = - 6$

$x = - \frac{5}{2} - \frac{3 y}{4}$

Paso 2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Simplifica $3 (- \frac{5}{2} - \frac{3 y}{4}) + 2 y$ .

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Paso 2.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$3 (- \frac{5}{2}) + 3 (- \frac{3 y}{4}) + 2 y = - 6$

$x = - \frac{5}{2} - \frac{3 y}{4}$

Paso 2.2.1.1.2

Multiplica $3 (- \frac{5}{2})$ .

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Paso 2.2.1.1.2.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$- 3 (\frac{5}{2}) + 3 (- \frac{3 y}{4}) + 2 y = - 6$

$x = - \frac{5}{2} - \frac{3 y}{4}$

Paso 2.2.1.1.2.2

Combina $- 3$ y $\frac{5}{2}$ .

$\frac{- 3 \cdot 5}{2} + 3 (- \frac{3 y}{4}) + 2 y = - 6$

$x = - \frac{5}{2} - \frac{3 y}{4}$

Paso 2.2.1.1.2.3

Multiplica $- 3$ por $5$ .

$\frac{- 15}{2} + 3 (- \frac{3 y}{4}) + 2 y = - 6$

$x = - \frac{5}{2} - \frac{3 y}{4}$

$\frac{- 15}{2} + 3 (- \frac{3 y}{4}) + 2 y = - 6$

$x = - \frac{5}{2} - \frac{3 y}{4}$

Paso 2.2.1.1.3

Multiplica $3 (- \frac{3 y}{4})$ .

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Paso 2.2.1.1.3.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$\frac{- 15}{2} - 3 \frac{3 y}{4} + 2 y = - 6$

$x = - \frac{5}{2} - \frac{3 y}{4}$

Paso 2.2.1.1.3.2

Combina $- 3$ y $\frac{3 y}{4}$ .

$\frac{- 15}{2} + \frac{- 3 (3 y)}{4} + 2 y = - 6$

$x = - \frac{5}{2} - \frac{3 y}{4}$

Paso 2.2.1.1.3.3

Multiplica $3$ por $- 3$ .

$\frac{- 15}{2} + \frac{- 9 y}{4} + 2 y = - 6$

$x = - \frac{5}{2} - \frac{3 y}{4}$

$\frac{- 15}{2} + \frac{- 9 y}{4} + 2 y = - 6$

$x = - \frac{5}{2} - \frac{3 y}{4}$

Paso 2.2.1.1.4

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1.1.4.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{15}{2} + \frac{- 9 y}{4} + 2 y = - 6$

$x = - \frac{5}{2} - \frac{3 y}{4}$

Paso 2.2.1.1.4.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{15}{2} - \frac{9 y}{4} + 2 y = - 6$

$x = - \frac{5}{2} - \frac{3 y}{4}$

$- \frac{15}{2} - \frac{9 y}{4} + 2 y = - 6$

$x = - \frac{5}{2} - \frac{3 y}{4}$

$- \frac{15}{2} - \frac{9 y}{4} + 2 y = - 6$

$x = - \frac{5}{2} - \frac{3 y}{4}$

Paso 2.2.1.2

Para escribir $2 y$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{15}{2} - \frac{9 y}{4} + 2 y \cdot \frac{4}{4} = - 6$

$x = - \frac{5}{2} - \frac{3 y}{4}$

Paso 2.2.1.3

Simplifica los términos.

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Paso 2.2.1.3.1

Combina $2 y$ y $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{15}{2} - \frac{9 y}{4} + \frac{2 y \cdot 4}{4} = - 6$

$x = - \frac{5}{2} - \frac{3 y}{4}$

Paso 2.2.1.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- \frac{15}{2} + \frac{- 9 y + 2 y \cdot 4}{4} = - 6$

$x = - \frac{5}{2} - \frac{3 y}{4}$

$- \frac{15}{2} + \frac{- 9 y + 2 y \cdot 4}{4} = - 6$

$x = - \frac{5}{2} - \frac{3 y}{4}$

Paso 2.2.1.4

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1.4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.2.1.4.1.1

Factoriza $y$ de $- 9 y + 2 y \cdot 4$ .

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Paso 2.2.1.4.1.1.1

Factoriza $y$ de $- 9 y$ .

$- \frac{15}{2} + \frac{y \cdot - 9 + 2 y \cdot 4}{4} = - 6$

$x = - \frac{5}{2} - \frac{3 y}{4}$

Paso 2.2.1.4.1.1.2

Factoriza $y$ de $2 y \cdot 4$ .

$- \frac{15}{2} + \frac{y \cdot - 9 + y (2 \cdot 4)}{4} = - 6$

$x = - \frac{5}{2} - \frac{3 y}{4}$

Paso 2.2.1.4.1.1.3

Factoriza $y$ de $y \cdot - 9 + y (2 \cdot 4)$ .

$- \frac{15}{2} + \frac{y (- 9 + 2 \cdot 4)}{4} = - 6$

$x = - \frac{5}{2} - \frac{3 y}{4}$

$- \frac{15}{2} + \frac{y (- 9 + 2 \cdot 4)}{4} = - 6$

$x = - \frac{5}{2} - \frac{3 y}{4}$

Paso 2.2.1.4.1.2

Multiplica $2$ por $4$ .

$- \frac{15}{2} + \frac{y (- 9 + 8)}{4} = - 6$

$x = - \frac{5}{2} - \frac{3 y}{4}$

Paso 2.2.1.4.1.3

Suma $- 9$ y $8$ .

$- \frac{15}{2} + \frac{y \cdot - 1}{4} = - 6$

$x = - \frac{5}{2} - \frac{3 y}{4}$

$- \frac{15}{2} + \frac{y \cdot - 1}{4} = - 6$

$x = - \frac{5}{2} - \frac{3 y}{4}$

Paso 2.2.1.4.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $y$ .

$- \frac{15}{2} + \frac{- 1 \cdot y}{4} = - 6$

$x = - \frac{5}{2} - \frac{3 y}{4}$

Paso 2.2.1.4.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{15}{2} - \frac{y}{4} = - 6$

$x = - \frac{5}{2} - \frac{3 y}{4}$

$- \frac{15}{2} - \frac{y}{4} = - 6$

$x = - \frac{5}{2} - \frac{3 y}{4}$

$- \frac{15}{2} - \frac{y}{4} = - 6$

$x = - \frac{5}{2} - \frac{3 y}{4}$

$- \frac{15}{2} - \frac{y}{4} = - 6$

$x = - \frac{5}{2} - \frac{3 y}{4}$

$- \frac{15}{2} - \frac{y}{4} = - 6$

$x = - \frac{5}{2} - \frac{3 y}{4}$

Paso 3

Resuelve $y$ en $- \frac{15}{2} - \frac{y}{4} = - 6$ .

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Paso 3.1

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1.1

Suma $\frac{15}{2}$ a ambos lados de la ecuación.

$- \frac{y}{4} = - 6 + \frac{15}{2}$

$x = - \frac{5}{2} - \frac{3 y}{4}$

Paso 3.1.2

Para escribir $- 6$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{y}{4} = - 6 \cdot \frac{2}{2} + \frac{15}{2}$

$x = - \frac{5}{2} - \frac{3 y}{4}$

Paso 3.1.3

Combina $- 6$ y $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{y}{4} = \frac{- 6 \cdot 2}{2} + \frac{15}{2}$

$x = - \frac{5}{2} - \frac{3 y}{4}$

Paso 3.1.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- \frac{y}{4} = \frac{- 6 \cdot 2 + 15}{2}$

$x = - \frac{5}{2} - \frac{3 y}{4}$

Paso 3.1.5

Simplifica el numerador.

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Paso 3.1.5.1

Multiplica $- 6$ por $2$ .

$- \frac{y}{4} = \frac{- 12 + 15}{2}$

$x = - \frac{5}{2} - \frac{3 y}{4}$

Paso 3.1.5.2

Suma $- 12$ y $15$ .

$- \frac{y}{4} = \frac{3}{2}$

$x = - \frac{5}{2} - \frac{3 y}{4}$

$- \frac{y}{4} = \frac{3}{2}$

$x = - \frac{5}{2} - \frac{3 y}{4}$

$- \frac{y}{4} = \frac{3}{2}$

$x = - \frac{5}{2} - \frac{3 y}{4}$

Paso 3.2

Multiplica ambos lados de la ecuación por $- 4$ .

$- 4 (- \frac{y}{4}) = - 4 (\frac{3}{2})$

$x = - \frac{5}{2} - \frac{3 y}{4}$

Paso 3.3

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 3.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.1.1

Simplifica $- 4 (- \frac{y}{4})$ .

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Paso 3.3.1.1.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 3.3.1.1.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{y}{4}$ al numerador.

$- 4 \frac{- y}{4} = - 4 (\frac{3}{2})$

$x = - \frac{5}{2} - \frac{3 y}{4}$

Paso 3.3.1.1.1.2

Factoriza $4$ de $- 4$ .

$4 (- 1) (\frac{- y}{4}) = - 4 (\frac{3}{2})$

$x = - \frac{5}{2} - \frac{3 y}{4}$

Paso 3.3.1.1.1.3

Cancela el factor común.

$4 \cdot (- 1 \frac{- y}{4}) = - 4 (\frac{3}{2})$

$x = - \frac{5}{2} - \frac{3 y}{4}$

Paso 3.3.1.1.1.4

Reescribe la expresión.

$y = - 4 (\frac{3}{2})$

$x = - \frac{5}{2} - \frac{3 y}{4}$

$y = - 4 (\frac{3}{2})$

$x = - \frac{5}{2} - \frac{3 y}{4}$

Paso 3.3.1.1.2

Multiplica.

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Paso 3.3.1.1.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 y = - 4 (\frac{3}{2})$

$x = - \frac{5}{2} - \frac{3 y}{4}$

Paso 3.3.1.1.2.2

Multiplica $y$ por $1$ .

$y = - 4 (\frac{3}{2})$

$x = - \frac{5}{2} - \frac{3 y}{4}$

$y = - 4 (\frac{3}{2})$

$x = - \frac{5}{2} - \frac{3 y}{4}$

$y = - 4 (\frac{3}{2})$

$x = - \frac{5}{2} - \frac{3 y}{4}$

$y = - 4 (\frac{3}{2})$

$x = - \frac{5}{2} - \frac{3 y}{4}$

Paso 3.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.2.1

Simplifica $- 4 (\frac{3}{2})$ .

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Paso 3.3.2.1.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.3.2.1.1.1

Factoriza $2$ de $- 4$ .

$y = 2 (- 2) (\frac{3}{2})$

$x = - \frac{5}{2} - \frac{3 y}{4}$

Paso 3.3.2.1.1.2

Cancela el factor común.

$y = 2 \cdot (- 2 (\frac{3}{2}))$

$x = - \frac{5}{2} - \frac{3 y}{4}$

Paso 3.3.2.1.1.3

Reescribe la expresión.

$y = - 2 \cdot 3$

$x = - \frac{5}{2} - \frac{3 y}{4}$

$y = - 2 \cdot 3$

$x = - \frac{5}{2} - \frac{3 y}{4}$

Paso 3.3.2.1.2

Multiplica $- 2$ por $3$ .

$y = - 6$

$x = - \frac{5}{2} - \frac{3 y}{4}$

$y = - 6$

$x = - \frac{5}{2} - \frac{3 y}{4}$

$y = - 6$

$x = - \frac{5}{2} - \frac{3 y}{4}$

$y = - 6$

$x = - \frac{5}{2} - \frac{3 y}{4}$

$y = - 6$

$x = - \frac{5}{2} - \frac{3 y}{4}$

Paso 4

Reemplaza todos los casos de $y$ por $- 6$ en cada ecuación.

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Paso 4.1

Reemplaza todos los casos de $y$ en $x = - \frac{5}{2} - \frac{3 y}{4}$ por $- 6$ .

$x = - \frac{5}{2} - \frac{3 (- 6)}{4}$

$y = - 6$

Paso 4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.2.1

Simplifica $- \frac{5}{2} - \frac{3 (- 6)}{4}$ .

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Paso 4.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1.1.1

Cancela el factor común de $- 6$ y $4$ .

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Paso 4.2.1.1.1.1

Factoriza $2$ de $3 (- 6)$ .

$x = - \frac{5}{2} - \frac{2 (3 \cdot (- 3))}{4}$

$y = - 6$

Paso 4.2.1.1.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.2.1.1.1.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$x = - \frac{5}{2} - \frac{2 (3 \cdot (- 3))}{2 (2)}$

$y = - 6$

Paso 4.2.1.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$x = - \frac{5}{2} - \frac{2 (3 \cdot (- 3))}{2 \cdot 2}$

$y = - 6$

Paso 4.2.1.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$x = - \frac{5}{2} - \frac{3 \cdot (- 3)}{2}$

$y = - 6$

$x = - \frac{5}{2} - \frac{3 \cdot (- 3)}{2}$

$y = - 6$

$x = - \frac{5}{2} - \frac{3 \cdot (- 3)}{2}$

$y = - 6$

Paso 4.2.1.1.2

Multiplica $3$ por $- 3$ .

$x = - \frac{5}{2} - \frac{- 9}{2}$

$y = - 6$

Paso 4.2.1.1.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{5}{2} + \frac{9}{2}$

$y = - 6$

Paso 4.2.1.1.4

Multiplica $- - \frac{9}{2}$ .

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Paso 4.2.1.1.4.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$x = - \frac{5}{2} + 1 (\frac{9}{2})$

$y = - 6$

Paso 4.2.1.1.4.2

Multiplica $\frac{9}{2}$ por $1$ .

$x = - \frac{5}{2} + \frac{9}{2}$

$y = - 6$

$x = - \frac{5}{2} + \frac{9}{2}$

$y = - 6$

$x = - \frac{5}{2} + \frac{9}{2}$

$y = - 6$

Paso 4.2.1.2

Combina fracciones.

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Paso 4.2.1.2.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{- 5 + 9}{2}$

$y = - 6$

Paso 4.2.1.2.2

Simplifica la expresión.

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Paso 4.2.1.2.2.1

Suma $- 5$ y $9$ .

$x = \frac{4}{2}$

$y = - 6$

Paso 4.2.1.2.2.2

Divide $4$ por $2$ .

$x = 2$

$y = - 6$

$x = 2$

$y = - 6$

$x = 2$

$y = - 6$

$x = 2$

$y = - 6$

$x = 2$

$y = - 6$

$x = 2$

$y = - 6$

Paso 5

La solución del sistema es el conjunto completo de pares ordenados que son soluciones válidas.

$(2, - 6)$

Paso 6

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de punto:

$(2, - 6)$

Forma de la ecuación:

$x = 2, y = - 6$

Paso 7